Okay, hallo, guten Morgen. Wir haben uns gerade angeschaut, einen Aspekt von

Quantensystemen, der ziemlich wichtig ist, nämlich was passiert, wenn man sich

konzentrieren möchte auf ein Teilsystem. Zum Beispiel man hat ein Atom und das

elektromagnetische Feld und die Wechselwirken miteinander und das Atom

kann Photonen ausstrahlen und so weiter, aber eigentlich interessiert man sich

am Ende nur für das Atom. Man möchte wissen, was ist die

Wahrscheinlichkeit im Grundzustand oder im angeregten Zustand zu sein oder was

ist der Erwartungswert vom Deep-Pole-Operator und man möchte sich

eigentlich nicht mehr so sehr um das elektromagnetische Feld kümmern.

Andererseits weiß man natürlich, dass das elektromagnetische Feld sich auch

auswirkt auf das, was das Atom macht. Und zunächst mal muss man überhaupt eine

Beschreibung finden und man kann nicht einfach sagen, oh jetzt nehme ich nur die

Wellenfunktion des Atoms und nicht mehr die des Feldes, weil das Problem ist, dass

Atom plus Feld zusammen insgesamt eine Wellenfunktion haben. Und was wir

gefunden haben ist, dass es ein anderes Objekt gibt, statt einer Wellenfunktion

kann man eine sogenannte Dichtematrix einführen, die man gewinnt, indem man die

Gesamtwellenfunktion von Atom plus Feld kennt und dann eine gewisse Operation

macht, die man Ausspuren nennt und dann bekommt man eine Matrix, die den Zustand

vom Atom beschreibt. Also die Matrix tritt an die Stelle von der Wellenfunktion

für das Teilsystem. Und ich zeichne nochmal das schematische Bild hin, was wir

da hatten. Hier ist das System, also zum Beispiel das Atom. Hier ist der Rest der

Welt, also zum Beispiel das elektromagnetische Feld. Die können eine

Wechselwirkung spüren, aber wir konzentrieren uns auf das System alleine.

Und wir hatten dann gefunden, wenn man diese Dichtematrix einführt, dann stellt

sich heraus, die hat gewisse Eigenschaften, zum Beispiel sie ist ein

hermetischer Operator. Genauso wie der Hamilton-Operator ein hermetischer

Operator ist. Und das bedeutet, ich kann die Dichtematrix diagonalisieren, ich kann

Eigenwerte und Eigenvektoren finden und mir ist garantiert, weil sie hermetisch

ist, dass die Eigenvektoren eine Autonormalbasis bilden und dass die

Eigenwerte reell sind. Das heißt, ich kann roh so hinschreiben, dass es eine Summe

ist über die Projektoren auf die einzelnen Eigenvektoren. Wenn ich mal die

Eigenvektoren psi j nennen würde, dann steht hier vorne jeweils der Eigenwert.

Die Eigenwerte nenne ich pj und der Grund, warum ich sie pj nenne, so ähnlich wie

Wahrscheinlichkeiten ist, dass es tatsächlich Wahrscheinlichkeiten sind.

Zum Beispiel findet man weiterhin, dass die Matrix nicht nur hermetisch ist,

sondern sogar positiv semidefinit. Was bedeutet, dass alle Eigenwerte nicht

negativ sind? Also reell und nicht negativ. Und man findet ferner, dass die

Dichtematrix normiert ist, in dem Sinne, dass die Spur gleich eins ist. Die Spur

ist die Summe über alle Eigenwerte, das heißt, die Summe über pj ist gleich eins.

Wenn man das beides hat, pj ist nicht negativ und die Summe ist eins, dann sind

es die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten. Und tatsächlich stellt

sich heraus, wenn ich eine Messung ausführen würde, die mir anzeigt, welcher

von diesen Vektoren vorliegt in einem gegebenen Experiment, in einem gegebenen

Durchlauf des Experiments, dann stellt sich heraus, die pj sind die

Wahrscheinlichkeiten dafür, psi j zu finden. Okay, wir hatten uns dann

überlegt, wie die Zeitentwicklung aussieht und wir hatten gefunden, die

Zeitentwicklung sieht so ähnlich aus, wie die Zeitentwicklung von Operatoren im

Heisenberg-Bild, allerdings mit einem Unterschied auf der rechten Seite, der

Kommutator ist umgedreht, das heißt, hier steht das h links und das merke ich mir so, dass

es so aussieht, wie eine Schrödinger-Gleichung, eine zeitabhängige